注目キーワード
  1. 流体力学
  2. 雑記

流体の基礎(2)等角写像

等角写像とは

「等角写像」という言葉, 最初に学ぶのは数学においてが多いでしょう.

この「等角写像」, 実は流体の分野においても, 流れ場を扱ううえで重要な手法の一つとなります. 
流体においては, 等角写像によって流れ場を変換し, 複雑な流れ場を作ることが行われます. 例えば平行流を変換して円管周りの流れを扱うといったものがあります. 

この「等角写像」について少しまとめてみました.

一般的なイメージとしては, 次のように考えられます. 

等角写像(とうかくしゃぞう、英: conformal transformation)とは、2次元以上のユークリッド空間からユークリッド空間への写像であって、任意の点の近傍の微小な2つの線分が、その成す角を保存するように写像されるものをいう。いいかえれば、座標変換の関数行列が回転行列のスカラー倍となるものである。すなわち、平面上の一つの図形を他の図形に変換(写像)したとき、図形上の二曲線の交角はその写像によっても等しく保たれるような写像を等角写像と呼ぶ。

ウィキペディアフリー百科辞典 等角写像 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F

これが, 実際にどういうことか確認してみます. 

写像とは

まずは, 「等角写像」の「写像」について考えます. 
突然ですが, 図1, 図2のようなz平面とξ平面を考えます. この時, 関数f(z)が一価関数であるとすると, z平面上の点とξ平面の点はξ=f(z)によって1:1に対応し, z平面上の曲線C1, C2はξ平面上の曲線C1’, C2’に変換されます. この変換が写像です.関数

言い換えれば, 曲線C1, C2が関数fというフィルターをかけられて 曲線C1′, C2’に書き換えられた, この書き換え作業のことを変換と言います. 

図1.z平面
図2.ξ平面

等角とは

「等角」とは, その名の通り角度が等しいことです. では, 何の角度が等しいのかも含め, 実際に等角になっていることを確認します。

その為に, z平面上の交点z0から微小距離r1離れた点z1とr2離れた点z2について考えます. この時, 以下の関係があります.
$$z_1-z_0=r_1e^{i\theta_1}$$

$$z_2-z_0=r_2e^{i\theta_2}$$

これは, 関数ξ=f(z)によりξ1, ξ2に変換され, 以下となります.

$$ξ_1-ξ_0=r’_1e^{i\theta’_1}$$

$$ξ_2-ξ_0=r’_2e^{i\theta’_2}$$

また, 図1,図2における, 交点の角度θ, θ’は

$$\theta=\theta_2-\theta_1=arg(z_2-z_1)-arg(z_1-z_0)$$

$$\theta’=\theta’_2-\theta’_1=arg(ξ_2-ξ_1)-arg(ξ_1-ξ_0)$$

ここで,

$$\lim_{z_1\to z_2}\frac{ξ_1-ξ_0}{z_1-z_0}=\frac{f(z_1)-f(z_0)}{z_1-z_0}=f'(z_0)$$

$$\lim_{z_2\to z_0}\frac{ξ_2-ξ_0}{z_2-z_0}=\frac{f(z_2)-f(z_0)}{z_2-z_0}=f'(z_0)$$

より,

$$ξ_1-ξ_0=f(z_1)-f(z_0)=f'(z_0)・(z_1-z_0)$$

$$ξ_2-ξ_0=f(z_2)-f(z_0)=f'(z_0)・(z_2-z_0)$$

以上で準備が完了. 実際に等角になっていることを確認します.

$$\begin{align}\theta’=\theta’_2-\theta’_1\\&=arg(ξ_2-ξ_1)-arg(ξ_1-ξ_0)\\&=arg{f'(z_0)・(z_1-z_0)}-arg{f'(z_0)・(z_2-z_0)}\\&=argf'(z_0)+arg(z_2-z_1)-argf'(z_0)-arg(z_1-z_0)\\&=arg(z_2-z_1)-arg(z_1-z_0)\\&=\theta\end{align}$$

以上より等角が確認されました.

まとめ

このようにして等角写像の「等角」たるゆえんが確認できました. よって, z0とz0から微小距離離れたz1,z2で形成される三角形z0z1z2は相似のままξ平面に写像されることになります. ここで, 写像における長さの比と回転角は各点により異なります. すなわち, 等角であるのは各点とその点からの微小距離に位置する2点との計3点により生じる各が一致するということであり, z平面上の図形全体が相似のままξ平面上に写像されるわけではないことに注意しましょう.

最新情報をチェックしよう!